Золотий переріз: поділ і побудова

1. Поділ відрізка: перевірка на око

Тягніть точку C пальцем або мишею. Числа сховано — спершу довіртеся оку.

2. Золотий прямокутник циркулем і лінійкою

Правда чи міф?

Усі відношення обчислено тут же зі справжніх розмірів.

Як рахує модель

AB : AC = AC : CB. Якщо AC = 1, CB = x, то (1 + x) : 1 = 1 : x, звідки x² + x = 1, x = (√5 − 1)/2 ≈ 0,618, а φ = 1/x = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 034.

Побудова: квадрат зі стороною 1, M — середина AB. За теоремою Піфагора MC = √(0,5² + 1²) = √5/2 ≈ 1,118. Тоді AE = AM + ME = 0,5 + 1,118 = 1,618 = φ.

Точність «на око» — відхилення вашої точки від золотої в частках довжини відрізка: |AC/AB − 0,618|.

Що спробувати

Зробіть 5 спроб на око. Чи вийшло хоч раз точніше за 1 %?
Поставте C точно посередині: яким стало відношення AB : AC? А AC : CB?
Після побудови відріжте від золотого прямокутника квадрат. Яким є залишок?
Виміряйте лінійкою свій зошит, телефон, банківську картку й поділіть довшу сторону на коротшу.

Чому так?

Золотий прямокутник має чудову властивість: якщо відрізати від нього квадрат, залишиться знову золотий прямокутник, лише менший і повернутий. Так можна продовжувати безкінечно — звідси й зв'язок зі спіраллю та числами Фібоначчі.

Точно φ є в правильному п'ятикутнику (діагональ : сторона) і в п'ятикутній зірці. У рослин сусідні листки чи насінини часто повернуті на кут ≈ 137,5° = 360° / φ² — так вони менше затінюють одне одного.

А от багато «золотих» прикладів — міфи. Аркуш А4 має відношення √2 ≈ 1,414: якщо його скласти навпіл, вийде такий самий за формою А5. Про Парфенон і «Мону Лізу» сперечаються: залежно від того, які точки обрати, можна «знайти» майже будь-яке число. Опитування показують, що люди не надають явної переваги саме прямокутнику 1 : 1,618.

Шкільна програма: STEM 6 клас («Золотий переріз», «Математичні вимірювання»), геометрія 8 клас (теорема Піфагора).