Керування
Рівень:
Порядок коренів не важливий. Мінус можна вводити як «-» або «−». Подвійний корінь — однакове число в обох полях.
Підсумок
·
Оцінка: з 12
Обчислення
Після відповіді тут з'явиться перевірка: сума й добуток коренів порівнюються з коефіцієнтами рівняння.
Завдання
Розв'яжи 10 рівнянь, не користуючись дискримінантом: добери два цілі числа, сума яких дорівнює −b/a, а добуток — c/a. Рівняння не повторюються. Оцінка = округлене 12 · (правильні / 10), але не менше 1.
Список рівнянь серії з'явиться тут.
Чому так?
Теорема Вієта. Якщо x₁ і x₂ — корені зведеного квадратного рівняння x² + px + q = 0, то x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q. Для рівняння ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0): x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a.
Чому це правда. Якщо x₁ і x₂ — корені, то тричлен розкладається на множники: x² + px + q = (x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Порівнюючи коефіцієнти, отримуємо p = −(x₁ + x₂) і q = x₁x₂.
Обернена теорема. Якщо числа m і n такі, що m + n = −p і m · n = q, то m і n — корені рівняння x² + px + q = 0. Саме тому дібрані числа можна не перевіряти підстановкою — досить перевірити суму й добуток.
Приклад. x² − 5x + 6 = 0. Шукаємо числа з добутком 6 і сумою 5: це 2 і 3 (2 + 3 = 5, 2 · 3 = 6). Отже, x₁ = 2, x₂ = 3.
Як шукати швидше. Почни з добутку: якщо c > 0, корені одного знака (знак збігається зі знаком суми −b); якщо c < 0 — різних знаків, і більший за модулем має знак суми. Перебери пари дільників c — їх небагато.
На графіку корені — це абсциси точок, де парабола y = ax² + bx + c перетинає вісь Ox. Подвійний корінь — парабола лише дотикається до осі вершиною.