Спіраль Фібоначчі — Цифрова лабораторія

Побудова

Відношення сусідніх чисел

Точки — F(n+1) : F(n); пунктир — φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,6180. Відношення по черзі то більше, то менше за φ і наближається до нього.

Як рахує модель

F(1) = F(2) = 1, F(n) = F(n − 1) + F(n − 2). Новий квадрат прикладається до довшої сторони прямокутника по черзі: праворуч, угору, ліворуч, униз.

У кожному квадраті — чверть кола радіусом, що дорівнює стороні квадрата. Тому «спіраль Фібоначчі» складена з дуг і росте стрибками.

Золота спіраль — логарифмічна: за кожну чверть оберту віддаляється від центру рівно в φ разів: r = r₀·φ^2θ/π. Центр знайдено з двох останніх точок спіралі.

Що спробувати

Обчисліть самі 13 : 8 і 21 : 13. Яке з них ближче до 1,618?
Увімкніть золоту спіраль. Де дві спіралі розходяться найбільше — на малих чи на великих квадратах?
Чому сторони прямокутника, що утворюється, завжди — два сусідні числа Фібоначчі?
Почніть ряд подумки з 2 і 7: 2, 7, 9, 16, 25… До чого прямує відношення тепер?

Чому так?

Якщо відношення сусідніх чисел колись стане сталим (x), то з F(n+1) = F(n) + F(n−1) виходить x = 1 + 1/x, тобто x² = x + 1. Додатний корінь цього рівняння — φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618 034. Тому відношення прямує до φ за будь-яких двох додатних початкових чисел.

Спіраль із квадратів лише наближає золоту: на початку (1, 1, 2) різниця помітна, а для великих квадратів дуги майже збігаються. Числа Фібоначчі справді трапляються в природі — наприклад, кількість спіралей у кошику соняшника чи на шишці (часто 34 і 55, 8 і 13). Але не кожна мушля чи галактика — «золота спіраль»: у мушлі наутилуса коефіцієнт росту інший.

Шкільна програма: STEM 6 клас («Послідовність Фібоначчі», «Золотий переріз»).