Площа трикутника: рухомі вершини

Чому так?

Через паралелограм. Добудуймо трикутник ABC до паралелограма ABCD (у моделі — сірий контур). Діагональ AC ділить паралелограм на два рівні трикутники (за трьома сторонами), тому площа трикутника — половина площі паралелограма: S = ½·S_ABCD = ½·a·h, де a — основа, h — висота, проведена до неї.

Висота може бути поза трикутником. У тупокутному трикутнику висота до сторони, що прилягає до тупого кута, падає на продовження цієї сторони (у моделі основу продовжено пунктиром). Формула від цього не змінюється: множимо на довжину самої сторони a, а не на продовження.

Рівновеликі трикутники. Якщо вершина C рухається по прямій, паралельній AB, відстань від C до AB (висота) не змінюється, як і основа AB. Отже, і площа ½·a·h та сама, хоча форма трикутника змінюється дуже сильно. Фігури з рівними площами називають рівновеликими. Звідси ж: медіана ділить трикутник на два рівновеликі (рівні основи, спільна висота).

Точна площа на сітці. Якщо вершини лежать у вузлах, площу можна знайти без коренів: S = |(x_B−x_A)(y_C−y_A) − (y_B−y_A)(x_C−x_A)| : 2. Тому вона завжди ціла або «з половинкою». Довжини ж сторін і висот бувають ірраціональними, тому в інших формулах ми бачимо наближені значення — але результат той самий.

Додатково (понад програму 8 класу). Висота до сторони a дорівнює b·sin γ, звідси S = ½·a·b·sin γ (9 клас). Формула Герона S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), де p — півпериметр, дає площу лише за трьома сторонами.