Керування
Обчислення
1) Функція: y = ; вітки напрямлені .
2) D = b² − 4ac = =
3) Нулі функції:
4) Шукаємо, де y 0:
5) Відповідь:
Завдання
Розв'яжи нерівність:
Чому так?
Нерівність ax² + bx + c > 0 питає: при яких x значення функції y = ax² + bx + c додатні? Графік цієї функції — парабола, а значення y додатне там, де точка графіка лежить над віссю Ox, від'ємне — де під нею, нуль — у точках перетину з Ox. Тому малювати точну параболу не потрібно: досить знати, де вона перетинає вісь і куди напрямлені вітки.
Алгоритм. 1) Розв'яжи рівняння ax² + bx + c = 0 (знайди D і корені). 2) Познач корені на осі Ox. 3) За знаком a схематично намалюй параболу: a > 0 — вітки вгору, a < 0 — вниз. 4) Вибери проміжки, де парабола над віссю (для >, ≥) або під віссю (для <, ≤). 5) Для строгої нерівності (>, <) корені виколоті — круглі дужки; для нестрогої (≥, ≤) — зафарбовані, квадратні дужки. Біля ∞ дужка завжди кругла.
Якщо D > 0, корені x₁ < x₂ ділять пряму на три частини: на крайніх двох знак функції збігається зі знаком a, між коренями — протилежний. Тому відповідь — або «проміжок між коренями», або «об'єднання двох променів» (знак ∪, а не ∩: x може належати або одному, або іншому промені).
Якщо D = 0, парабола лише дотикається до осі у вершині x₀; скрізь, крім x₀, знак функції збігається зі знаком a. Якщо D < 0, парабола взагалі не перетинає вісь і вся лежить над нею (a > 0) або під нею (a < 0) — відповідь «будь-яке число» або «розв'язків немає».
| D | > 0 | ≥ 0 | < 0 | ≤ 0 |
|---|---|---|---|---|
| D > 0 | (−∞; x₁) ∪ (x₂; +∞) | (−∞; x₁] ∪ [x₂; +∞) | (x₁; x₂) | [x₁; x₂] |
| D = 0 | x ≠ x₀ | x — будь-яке число | ∅ | x = x₀ |
| D < 0 | x — будь-яке число | x — будь-яке число | ∅ | ∅ |
Типові помилки: переплутати дужки (корінь включається лише при ≥ і ≤), написати ∩ замість ∪, забути змінити знак нерівності при множенні на від'ємне число, взяти «середину» замість «країв» при a < 0. Перевірка проста: підстав будь-яке число з відповіді в нерівність — вона має справдитися.